Éléments de géométrie. Actions de groupes

    L’auteur exprime avec ce livre une conception résolument novatrice de l’enseignement de la géométrie. Il affirme sa conviction que cet enseignement ne peut qu’évoluer dans le sens que son exposé indique : place grandissante donnée, dès le premier cycle, à la notion de groupes opérant ; nécessité de fournir à l’apprenti mathématicien des moyens nouveaux pour affronter la prolifération des connaissances et la complexité des nouvelles techniques ; priorité au travail de prospection et de réflexion à partir d’une « situation » donnée et abandon du traditionnel exposé magistral linéaire.
    Rompant avec certaines classifications habituelles en mathématiques, R. Mneimné propose un parcours varié, guidé par la notion centrale de l’ouvrage : celle d’action de groupe. Du birapport aux groupes de Sylow, des triquadrangles harmoniques aux orbites nilpotentes, des groupes algébriques affines à la famille des sous-groupes de GL(2, F₃) au grand complet, de la réduite de Jordan aux représentations de sl(2, ℂ), le lecteur n’apprendra pas seulement de belles mathématiques, il se convaincra de la vertu unifiante et organisatrice de l’idée de groupe opérant. Il se rendra compte, de surcroît, qu’en travaillant le corps du texte et ses plus de deux cents exercices, il a appris beaucoup d’algèbre linéaire et même de géométrie algébrique élémentaire.
    Affranchi de toute contrainte de programme ou de niveau, l’auteur a réuni ici une matière suffisamment variée pour intéresser l’étudiant de maîtrise, l’agrégatif, le bon taupin, le futur chercheur, le professeur. Tous devraient trouver dans ce livre une note de bonheur mathématique. Si le « principe de symétrie » est une des sources de la beauté, les actions de groupes sont une des façons savantes de parler de cette symétrie, et de mieux la comprendre.
    Rached Mneimné a été longtemps assistant à l’E.N.S. de Saint-Cloud où il a notamment assuré la préparation à l’agrégation, accompagnant ainsi une quinzaine de promotions d’où sont sortis de nombreux mathématiciens de talent. Il est coauteur avec F. Testard d’un ouvrage sur les groupes de Lie qui est devenu un classique. Il est actuellement maître de conférences à l’Université Paris VII-Denis Diderot.
===== Table des matières
Préface
Table des Matières
Notations
0 Actions de groupes
    0.1 Introduction
    0.2 Quelques mots clés
    0.3 Exemples fondamentaux
    0.4 Premières manipulations
    0.5 Aspect topologique
    0.6 Aspect différentiel
    0.7 Sous l’angle de la géométrie algébrique
    0.8 Représentations linéaires
    0.9 Produits semi-directs de groupes
    0.10 Espaces symétriques
    0.11 Exercices
0-A Le groupe quaternionique ℍ₈ et le groupe SL(2, F₃)
    0-A.1 Introduction
    0-A.2 Construction du groupe ℍ₈
    0-A.3 Les matrices de SL(2, F₃)
    0-A.4 Les groupes d’automorphismes de ℍ₈ et de SL(2, F₃)
    0-A.5 Structure des 2-Sylow de GL(2, F₃)
    0-A.6 Exercices
0-B Le birapport
    0-B.1 Introduction
    0-B.2 Définition et premières propriétés
    0-B.3 Action du groupe S₄ sur le birapport
    0-B.4 Expression classique du birapport
    0-B.5 Une S₄-compactification de bar{ℝ} − {0, 1, ∞}
    0-B.6 Un peu de géométrie plane
    0-B.7 La conique fondamentale
    0-B.8 Involutions et groupe circulaire
    0-B.9 Retour sur le birapport
    0-B.10 Le complexe octaédral
    0-B.11 Exercices
0-C Classes de similitude
    0-C.1 Introduction
    0-C.2 Premières manipulations
    0-C.3 Le cas n = 8
    0-C.4 Les tableaux de Young
    0-C.5 Le cône nilpotent
    0-C.6 Réduite de Jordan, théorème de Jacobson-Morozov et représentations de sl(2, K)
    0-C.7 Le théorème de Jacobson-Morozov dans les algèbres de Lie semi-simples
    0-C.8 Appendice 1 — Quadriques affines et classes de similitude dans M(2, ℝ)
    0-C.9 Appendice 2 — L’algèbre de Lie sl(2, ℝ)
    0-C.10 Appendice 3 — Scholie informatique pour orbites nilpotentes
    0-C.11 Exercices
Bibliographie
Index